PEMROGRAMAN LINIER
Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya
yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan
meminimumkan biaya. PL banyak
diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL
berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model
matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala
linier.
Karakteristik Pemrograman Linier
Sifat linearitas
suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara
statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar)
ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas ditunjukkan oleh
adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian fungsi tujuan dan pembatas.
Sifat proporsional
dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau penggunaan
sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika
harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka
sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah
besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan
sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat
proporsionalitas tidak dipenuhi.
Sifat additivitas
mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai
aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian silang pada model.
Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala).
Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung
kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas
dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel
keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merepresentasikan dua produk
substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan
mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat
additivitas tidak terpenuhi.
Sifat divisibilitas
berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional,
sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.
Sifat kepastian
menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya koefisien
fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti, bukan
merupakan nilai dengan peluang tertentu.
Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak
selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam
pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal
yang diperoleh.
Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari
sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan
dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan
tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan
atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian
yang dipelajari dan bagian lain dalam
perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang
sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi,
diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan
pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang
ingin dicapai.
Pembentukan model matematik
Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah
memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis.
Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah membangun
model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita
diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi
kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel
keputusan. Model matematika permasalahan
optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi.
Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan
digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi
tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan
optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih
dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan
optimal dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model matematik yang
merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk
persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga
sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam
fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model
matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian
permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala model
matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung
membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu
mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi
yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan
semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk
jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk
menganalisis permasalahan.
Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan.
Tidak semua karakteristik
sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun
dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit
diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai
berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2
+ ... + cnxn
Sumber daya yang
membatasi :
a11x1
+ a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1
+ a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn
= /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel
keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung
dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn
merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut
juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn
merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang
membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model
matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan
jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan
tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn
≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu
permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni
permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap
kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun
fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau
minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan
pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati
dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada
fungsi pembatas.
Contoh Kasus yang
diselesaikan
Pada sub bab ini terdapat 10 kasus dengan
karakteristik berbeda yang sudah diselesaikan untuk memperkaya pembaca dalam
ilmu dan seni permodelan. Pahami dan perhatikan teknik permodelannya dengan
hati-hati.
- Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja
dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan hanya merakit meja dan kursi.
Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit meja dan 30 menit untuk
merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan
waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4
kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi
paling banyak empat kali jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp
1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500 ribu.
Formulasikan kasus tersebut ke dalam model
matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang harus
dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya
yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang
ingin dicapai adalah memaksimumkan
pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang
membatasi adalah waktu kerja karyawan dan perbandingan jumlah kursi dan meja yang
harus diproduksi (pangsa pasar ).
Langkah berikutnya adalah
memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian.
Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga
jual per meja maupun kursi akan sama meskipun jumlah yang dibeli semakin
banyak. Hal ini mengisyaratkan bahwa total
pendapatan yang diperoleh pengrajin proposional terhadap jumlah produk
yang terjual. Penggunaan sumber daya yang membatasi , dalam hal ini waktu kerja
karyawan dan pangsa pasar juga proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang
diproduksi. Dengan demikian dapat
dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pendapatan pengrajin
merupakan jumlah pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang terjual.
Penggunaan sumber daya ( waktu kerja karyawan dan pangsa pasar) merupakan
penjumlahan waktu yang digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat
dinyatakan juga sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian
juga dipenuhi.
Ada dua variabel
keputusan dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan meru[pakan
maksimisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh
pengrajin. Fungsi kendala pertama (batasan waktu) menggunakan pertidaksamaan ≤,
karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tapi tidak
mungkin melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa menggunakan ≤
atau ≥ tergantung dari pendefinisianvariabelnya.
Kita definisikan :
x1 = jumlah meja yang akan diproduksi
x2 = jumlah kursi yang akan
diproduksi
Model umum Pemrograman Linier kasus di atas
adalah :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 1.2 x1 + 0.5 x2
Kendala :
2x1 + 0.5 x2 ≤ 32
x1/x2 ≥ ¼ atau 4x1≥
x2 atau 4x1 – x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
- Seorang peternak memiliki 200 kambing yang
mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan
menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai
berikut :
|
Bahan
|
Kg per kg bahan
|
|
Kalsium
|
Protein
|
Serat
|
Biaya (Rp/kg)
|
|
Jagung
|
0.001
|
0.09
|
0.02
|
2000
|
|
Bungkil kedelai
|
0.002
|
0.60
|
0.06
|
5500
|
Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah
paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5%
serat.
Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang
harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan , alternative keputusan dan
sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal,
tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan
biaya pembelian bahan pakan. Alternative keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai yang
akan digunakan. Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan serat pada jagung dan bungkil kedelai, serta
kebutuhan jumlah pakan per hari.
Langkah
berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas
dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon,
sehingga harga pembelian jagung dan bungkil kedelai per kg tidak berbeda
meskipun pembelian dalam jumlah besar. Hal ini mengisyaratkan bahwa total biaya
yang harus dikeluarkan peternak proporsional
terhadap jumlah jagung dan
bungkil kedelai yang dibeli. Penggunaan sumber daya yang membatasi,
dalam hal ini komposisi jagung dan bungkil kedelai akan serat, protein dan
kalsium proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pengeluaran pembelian bahan
pakan merupakan penjumlahan pengeluaran untuk jagung dan bungkil kedelai.
Jumlah masing-masing serat, protein dan
kalsium yang ada di pakan khusus
merupakan penjumlah serat, protein dan kalsium yang ada pada jagung dan bungkil
kedelai. Jumlah pakan khusus yang dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan
bungkil kedelai yang digunakan. Dengan
demikian sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga
dipenuhi.
Ada
dua variabel keputusan dan empat sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan
merupakan minimisasi, karena semakin
kecil biaya akan semakin disukai oleh peternak. Fungsi kendala pertama (batasan
jumlah pakan yang dibutuhkan per hari) menggunakan persamaan (=), fungsi
kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan kendala keempat (kebutuhan serat)
menggunakan pertidaksamaan ≤, dan fungsi kendala ketiga (kebutuhan akan
protein) menggunakan pertidaksamaan ≥.
Kita
definisikan :
x1
= jumlah jagung yang akan digunakan
x2
= jumlah bungkil kedelai yang akan digunakan
Model
umum Pemrograman linier kasus di atas oleh karenanya adalah :
Fungsi
tujuan : minimumkan z = 2000 x1 + 5500 x2
Kendala
:
x1
+ x2 = 90
0.001 x1 +
0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1 +
0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1 +
0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2
≥ 0
3. Suatu bank kecil mengalokasikan dana
maksimum Rp 180 juta untuk pinjaman pribadi dan pembelian mobil satu bulan kedepan. Bank mengenakan biaya suku bunga per tahun 14%
untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman pembelian mobil. Kedua tipe pinjaman itu dikembalikan
bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelian mobil
paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi
merupakan kredit macet.
Formulasikan masalah di
atas kedalam bentuk model matematiknya
!
Solusi :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah
mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi.
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai
adalah memaksimumkan pendapatan bunga dan pengembalian pinjaman.
Alternatif keputusan adalah jumlah alokasi
pinjaman pribadi dan pinjaman mobil. Sumber daya yang membatasi adalah jumlah alokasi anggaran untuk kredit bulan
depan dan perbandingan antara jumlah kredit pribadi dan pembelian mobil.
Sifat proporsionalitas,
additivitas, divisibilitas dan kepastian dipenuhi.
Ada dua variabel keputusan
yaitu jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi dan pinjaman pembelian mobil, dan
dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimisasi , karena
semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh manajemen bank.
Kita definisikan :
x1 = jumlah
anggaran untuk pinjaman pribadi
x2 = jumlah
anggaran untuk pinjaman pembelian mobil.
Model umum Pemrograman
Linier kasus diatas adalah :
Fungsi tujuan : Maksimumkan
z = (0.14 – 0.01) x1 + 0.12 x2
Kendala :
x1 + x2
≤ 180
x2 ≥ 2x1
atau -2x1 + x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
4.
Suatu pabrik perakitan radio
menghasilkan dua tipe radio, yaitu HiFi-1 dan HiFi-2 pada fasilitas perakitan
yang sama. Lini perakitan terdiri dari 3 stasiun kerja. Waktu perakitan
masing-masing tipe pada masing-masing stasiun kerja adalah sebagai berikut :
|
Stasiun kerja
|
Waktu perakitan per unit (menit)
|
|
HiFi-1
|
HiFi-2
|
|
1
|
6
|
4
|
|
2
|
5
|
5
|
|
3
|
4
|
6
|
Waktu kerja masing-masing stasiun kerja
adalah 8 jam per hari. Masing-masing stasiun kerja membutuhkan perawatan harian
selama 10%, 14% dan 12% dari total waktu kerja (8 jam) secara berturut-turut
untuk stasiun kerja 1,2 dan 3.
Formulasikan
permasalahan ini kedalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif
keputusan adalah : radio tipe HiFi-1 (x1)
dan radio tipe HiFi-2 (x2).
Tujuannya
adalah memaksimumkan jumlah radio
HiFi-1 dan HiFi-2 yang diproduksi.
Sumber
daya pembatas adalah : jam kerja
masing-masing stasiun kerja dikurangi dengan waktu yang dibutuhkan untuk
perawatan.
Waktu
produktif masing-masing stasiun kerja oleh karenanya adalah :
Stasiun 1
: 480 menit – 48 menit = 432 menit
Stasiun 2
: 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit
Stasiun 3
: 480 menit – 57.6 menit = 422.4 menit.
Model
umum pemrograman linier :
Maksimumkan
z = x1 + x2
Kendala :
6x1
+ 4x2 ≤ 432
5x1
+ 5x2 ≤ 412.8
4x1
+ 6x2 ≤ 422.4
x1,
x2 ≥ 0
5.
Dua
produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang
digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu
produksi dan keuntungan per unit masing-masing
produk ditunjukkan table di bawah ini :
|
Produk
|
Waktu produksi (menit)
|
|
Mesin 1
|
Mesin 2
|
Mesin 3
|
Mesin 4
|
|
1
|
10
|
6
|
8
|
2
|
|
2
|
5
|
20
|
15
|
3
|
Formulasikan
permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah
: produk 1 (x1) dan produk 2
(x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan
Sumber daya pembatas adalah
: jam kerja masing-masing mesin.
Model umum pemrograman
linier :
Maksimumkan z = 2x1
+ 3x2
Kendala :
10 x1 + 5 x2
≤ 600
6 x1 + 20 x2
≤ 600
8 x1 + 15 x2
≤ 600
x1, x2 ≥
0
6.
Empat
produk diproses secara berurutan pada 2 mesin. Waktu
pemrosesan dalam jam per unit produk pada kedua mesin ditunjukkan table di
bawah ini :
|
Mesin
|
Waktu per unit (jam)
|
|
Produk 1
|
Produk 2
|
Produk 3
|
Produk 4
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
2
|
|
2
|
3
|
2
|
1
|
2
|
Biaya total untuk memproduksi setiap unit produk didasarkan secara
langsung pada jam mesin. Asumsikan
biaya operasional per jam mesin 1 dan 2 secara berturut-turut adalah $10 dan $5. Waktu yang disediakan
untuk memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500 jam dan mesin 2 adalah
380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara berturut-turut adalah $65,
$70, $55 dan $45. Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah : jumlah produk 1,2,3 dan 4 yang
dihasilkan.
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan. Perhatikan, keuntungan
diperoleh dengan mengurangkan biaya dari pendapatan.
Keuntungan per unit dari produk 1 = 65 – (10x2 + 3x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 2 = 70 – (10x3 + 2x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 3 = 55 – (10x4 + 1x5) = 10
Keuntungan per unit dari produk 4 = 45 – (10x2 + 2x5) = 15
Sumber daya pembatas adalah waktu kerja yang disediakan kedua mesin.
Definisikan :
x1 : jumlah produk 1 yang
dihasilkan
x2 : jumlah produk 2 yang
dihasilkan
x3 : jumlah produk 3 yang
dihasilkan
x4 : jumlah produk 4 yang
dihasilkan
Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = 30 x1 + 30x2 + 10 x3 + 15
x4
Kendala :
2x1 + 3 x2 + 4x3
+ 2x4 ≤ 500
3x1 + 2 x2 + x3
+ 2x4 ≤ 380
x1, x2,
x3 , x4 ≥
0
- Suatu
perusahaan manufaktur menghentikan produksi salah satu produk yang tidak menguntungkan.
Penghentian ini menghasilkan kapasitas produksi yang menganggur
(berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh manajemen sedang
dipertimbangkan untuk dialokasikan ke salah satu atau ke semua produk yang dihasilkan
(produk 1,2 dan 3). Kapasitas yang tersedia pada mesin yang mungkin akan
membatasi output diringkaskan pada table berikut :
|
Tipe mesin
|
Waktu yang
dibutuhkan produk pada masing-masing mesin (jam)
|
Waktu yang tersedia (jam per minggu)
|
|
Produk 1
|
Produk 2
|
Produk 3
|
|
Mesin milling
|
9
|
3
|
5
|
500
|
|
Lathe
|
5
|
4
|
0
|
350
|
|
Grinder
|
3
|
0
|
2
|
150
|
Bagian penjualan mengindikasikan bahwa penjualan potensial untuk
produk 1 dan 2 tidak akan melebihi laju produksi maksimum dan penjualan
potensial untuk produk 3 adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-masing produk secara
berturut-turut adalah $50, $20 dan $25.
Formulasikan
permasalahan diatas kedalam model matematik !
Solusi :
Alternatif keputusan :
Jumlah produk 1 yang dihasilkan = x1
Jumlah produk 2 yang dihasilkan = x2
Jumlah produk 3 yang dihasilkan = x3
Tujuannya adalah : memaksimumkan
keuntungan
Sumber daya pembatas adalah :
Jam kerja mesin milling per minggu : 500
jam
Jam kerja mesin llathe per minggu : 350
jam
Jam kerja mesin grinder per minggu : 150
jam.
Model matematikanya adalah :
Maksimumkan z = 50 x1 + 20 x2 + 25 x3
Kendala :
9x1 + 3 x2 + 5x3
≤ 500
5x1 + 4 x2 ≤ 350
3x1 + 2x3 ≤ 150
x3 ≤ 20
x1, x2, x3 g ≥ 0
------------****------------
Sumber :
Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset
Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005.
(37 votes, average: 4.54 out of 5)
Sering kita alami,ketika ingin mengirimkan pesan kepada pemilik suatu blog/web lewat 
